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thinkinjava

一、  回溯的基本思想是：
    从一个给定的起始位置，我们希望到达一个目的位置。
我们重复地进行选择（可能是猜测）下一个位置应当是什么。如果一个给定的选择是有效的， 即新的位置可能位于通向目的位置的途径中，则前进到这个新的位置，然后继续。 如果一个给定的选择通向了死胡同 ，则回到前面的位置，进行其他的选择。
回溯就是通过一系列位置选择到达目的位置，并且在不能到达目的位置时反向退回的策略。

通俗的讲法：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。

算法书上可能这样说：回溯法是在包含问题的所有解的解空间树(或森林)中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。 算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否满足问题的约束条件。如果满足进入该子树，继续 按照深度优先的策略进行搜索。否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。
  
    回溯法在用来求解问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求解问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。适用于解决一些最优化问题。


二. 算法设计过程

(1) 确定问题的解空间    
应用回溯法解决问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个最优解。

(2) 确定结点的扩展规则
约束条件。

(3) 搜索解空间
   回溯算法从开始结点(根结点)出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应该往回移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中
搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

三. 算法框架
(1) 问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,...,an),约束条件是ai(i=1,2,...,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

(2) 非递归回溯框架
int a[n], i;
i=1;
while(i>0(有路可走) and [未达到目标]){ //还未回溯到头
  if(i>n){ //搜索到叶结点
    搜索到一个解，输出；
  }else{
   a第一个可能的值；
   while(a不满足约束条件且在搜索空间内)
    a下一可能的值；
    if(a在搜索空间内){
     标识占用的资源；
      i = i+1; //扩展下一个结点
   }else{
     清理所占的状态空间；
     i = i-1; //回溯
   }
}
}

(3)递归算法框架
int a[n];
try(int i){
   if(i>n){
      输出结果；
  }else{
     for(j=下界; j<=上界; j++){//枚举i所有可能的路径
       if(f(j)){ //满足限界函数和约束条件
          a = j;
          ... //其他操作
         try(i+1);
          a = 0; //回溯前的清理工作(如a置空)
       }
     }
   }
}

四、例
1. 问题描述： 输出自然数1到n的所有不重复的排列，即n的全排列。

2. 问题分析：
(1) 解空间： n的全排列是一组n元一维向量(x1, x2, x3, ... , xn),搜索空间是：1<=xi<=n i=1,2,3,...,n

(2) 约束条件： xi互不相同。技巧：采用"数组记录状态信息", 设置n个元素的一维数组d，其中的n个元素用来记录数据
1~n的使用情况，已使用置1，未使用置0

3. java代码：


/**  
* 回溯法  
*  
* @since jdk1.6  
* @author 毛正吉  
* @version 1.0  
* @date 2010.05.25  
*  
*/  
public class NAllArrangement {  
    private int count = 0; // 解数量  
    private int n; // 输入数据n  
    private int[] a; // 解向量  
    private int[] d; // 解状态  
  
    /**  
     * @param args  
     */  
    public static void main(String[] args) {  
        //测试例子  
        NAllArrangement na = new NAllArrangement(5, 100);  
        na.tryArrangement(1);  
  
    }  
  
    public NAllArrangement(int _n, int maxNSize) {  
        n = _n;  
        a = new int[maxNSize];  
        d = new int[maxNSize];  
    }  
  
    /**  
     * 处理方法  
     *  
     * @param k  
     */  
    public void tryArrangement(int k) {  
        for (int j = 1; j <= n; j++) { // 搜索解空间  
            if (d[j] == 0) {  
                a[k] = j;  
                d[j] = 1;  
            } else { // 表明j已用过  
                continue;  
            }  
  
            if (k < n) { // 没搜索到底  
                tryArrangement(k + 1);  
            } else {  
                count++;  
                output(); // 输出解向量  
            }  
            d[a[k]] = 0; // 回溯  
        }  
    }  
  
    /**  
     * 输出解向量  
     */  
    private void output() {  
        System.out.println("count = " + count);  
        for (int j = 1; j <= n; j++) {  
            System.out.print(a[j] + " ");  
        }  
        System.out.println("");  
    }  
  
}  


运行结果：
C:\java>java NAllArrangement
count = 1
1 2 3 4 5
count = 2
1 2 3 5 4
count = 3
1 2 4 3 5
count = 4
1 2 4 5 3
count = 5
1 2 5 3 4
count = 6
1 2 5 4 3
count = 7
1 3 2 4 5
count = 8
1 3 2 5 4
count = 9
1 3 4 2 5
。。。。。。。。

未完，继续：http://www.javaxxz.com/read.php?tid=1996